Булева концепция алгебры высказываний о событиях

" Ученые объяснения большей частью производят то впечатление, что бывшее ясно и понятно становится темно и запутанно".

Определение 1. Предполагаемое или свершившееся действие, его фигурант, результат, а также условия свершения, называются событием.

Определение 2. Событие выражается высказыванием о его свершении.

Высказыванию о событии (далее - просто высказывание, считая событие и высказывание о нем синонимами) можно поставить в соответствие переменную, которая в рамках булевой концепции может принимать значение ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Например:

x = <поезд опоздал на пять минут>; y = <в данной операции принимал участие Вася> (достаточно сообщить лишь имя); z = <скорость автомобиля принадлежит диапазону (120-140 км/ч)> (достаточно кратко обозначить диапазон в известном контексте, как условие свершения некоторого действия, приведшего к автокатастрофе).

Очевидно, что каждая переменная x, y, z может принимать одно из двух значений - 0 или 1.

Над высказываниями производятся логические операции. В рамках последующих построений потребуются четыре операции: отрицание (¬x, НЕx, x ), конъюнкция (

, И, AND, ·), дизъюнкция ( , ИЛИ, OR), импликация или операция следования (). Результаты операций определяются таблично.

Предполагая достаточные знания слушателей, можно напомнить:

• одноместная операция отрицания меняет значение переменной на противоположное;
• двуместная операция конъюнкции над двумя и (рекурсивно) более переменными порождает значение 1 тогда и только тогда, когда все переменные имеют значение 1;
• двуместная операция дизъюнкции над двумя и (рекурсивно) более переменными порождает значение 1, когда хотя бы одна переменная имеет значение 1;
• переменная справа от знака операции следования (импликации) принимает значение 1 тогда и только тогда, когда выражение слева от этого знака имеет значение 1.

Кроме того, ниже используется операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, предполагающая возможность лишь единственного вхождения переменной со значением 1 в операцию дизъюнкции, объединяющую несколько переменных.

Переход от высказываний к их булевой интерпретации, к булевым переменным, вводит в действие все законы, свойства и правила эквивалентных преобразований, известные из булевой алгебры.

Закон коммутативности:

(1.1)

Закон ассоциативности:

(1.2)

Закон дистрибутивности:

(1.3)

Закон де Моргана:

(1.4)

Закон идемпотенции:

(1.5)

Закон поглощения:

(1.6)

Закон склеивания:

(1.7)

Операция переменной с инверсией:

(1.8)

Операция с константами:

(1.9)

Двойное отрицание:

(1.10)

Несмотря на наличие дистрибутивных операций, существует ранжирование операций - в сторону понижения (ранга) слева направо: ¬(x), , . То есть если написано без скобок ¬xyz, то с помощью эквивалентного обозначения и скобок можно выявить следующий порядок действий: x(yz).



Переход от высказываний к их булевой интерпретации, к булевым переменным, вводит в действие все законы, свойства и правила эквивалентных преобразований, известные из булевой алгебры.

Закон коммутативности:

(1.1)

Закон ассоциативности:

(1.2)

Закон дистрибутивности:

(1.3)

Закон де Моргана:

(1.4)

Закон идемпотенции:

(1.5)

Закон поглощения:

(1.6)

Закон склеивания:

(1.7)

Операция переменной с инверсией:

(1.8)

Операция с константами:

(1.9)

Двойное отрицание:

(1.10)

Несмотря на наличие дистрибутивных операций, существует ранжирование операций - в сторону понижения (ранга) слева направо: ¬(x), , . То есть если написано без скобок ¬xyz, то с помощью эквивалентного обозначения и скобок можно выявить следующий порядок действий: x(yz).


Содержание раздела

---

---